Computación gráfica
Jorge Victorino1, 2, Miguel Barrero1 jvictorinog@ucentral.edu.co, mbarrerop@ucentral.edu.co 1Universidad Nacional, 2Universidad Central 2020El enfoque de las rectas para el temario se orienta al paralelismo y la ortogonalidad.
Sea $a = < a_1,a_2,a_3 >$ un vector diferente de cero en $R^{3}$, $P_1(x_1,y_1,z_1)$ un punto arbitrario, y $\vec{OA}$ el vector posición de $\textbf{a}$ [Swoskowski, 2017]:
La recta $l$ que pasa por $P_1(x_1,y_1,z_1)$ $\textbf{y es paralela}$ a $\textbf{a}$ se define como el conjunto de todos los puntos $P(x,y,z)$ tales que $\vec{P_1P}$ es paralelo a $\vec{OA}$.
Esto quiere decir que $\vec{P_1P} = t\vec{OA}$ para un escalar $\textbf{t}$.
En términos de vectores en $R^{3}$: $< x-x_1, y-y_1,z-z_1> =$ $t< a_1,a_2,a_3> =$ $< a_1 t,a_2 t,a_3 t>$
Entonces la recta que pasa por $P_1(x_1,y_1,z_1)$ y es paralela a $a = < a_1,a_2,a_3 >$ tiene las ecuaciones paramétricas: $$ x =x_1+a_1t , y =y_1+a_2t, z =z_1+a_3t$$
Si $l_1$ y $l_2$ son rectas paralelas a los vectores $a = < a_1,a_2,a_3>$ y $b = < b_1,b_2,b_3>$, se puede decir que los ángulos entre $l_1$ y $l_2$ son $\alpha$ y $\pi - \alpha$ donde $\alpha$ es el ángulo entre $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$.
Ejercicio: Encuentre el ángulo entre los vectores directores de las rectas y las ecuaciones paramétricas.
Si $P_1(x_1,y_1,z_1)$ es un punto sobre la recta $l$, \textbf{entonces el plano que pasa por} $P_1$ y tiene la recta normal $l$ se define como el conjunto de los puntos que se encuentran en todas las rectas $l'$, que son perpendiculares a $l$ en $P_1$.
Para mayor claridad, usando vectores, se escoge un punto $P_2$ de $l$ y se considera al segmento dirigido $\vec{P_1P_2}$ como el vector normal al plano que pasa por $P_1$. Se dice que el plano con vector normal $\vec{P_1P_2}$ contiene todos los puntos P tales que $\vec{P_1P}$ es ortogonal a $\vec{P_1P_2}$. P está en el plano si y solo si $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P} = 0$.
El plano que pasa por $P_1(x_1,y_1,z_1)$ con vector normal $a =< a_1,a_2,a_3>$, tiene como ecuación: $$a_1(x-x_1)+a_2(y-y_1)+a_3(z-z_1)=0$$
La ecuación del plano de forma general se puede escribir de la forma: $$ax+by+cz+d=0$$ donde $a = a_1 , b = b_1 , c = c_1$ y $d = -a_1 x_1 -a_2 y_1 - a_3 z_1$ o bien: $$ax+by+cz -a_1 x_1 -a_2 y_1 - a_3 z_1 = 0$$
Ejercicio: Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto $(5,-2,2)$ y tiene el vector normal $a=< 1, 3, 3>$. Use geogebra para graficar el plano usando la calculadora.
Ejercicio: Encuentre una ecuación del plano, determinada por los puntos $P(4,-3,1), Q(6,-4,7)$ y $R(1,2,2)$. Use geogebra para graficar el plano usando la calculadora.
$\textbf{La gráfica de toda ecuación lineal}$ $ax+by+cz+d=0$ $\textbf{es un plano con vector normal}$ $a,b,c$. Dos planos con vectores normales $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$, respectivamente son:
Swokowski, E. W. (2017). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.