Computación gráfica
Jorge Victorino1, 2, Miguel Barrero1 jvictorinog@ucentral.edu.co, mbarrerop@ucentral.edu.co 1Universidad Nacional, 2Universidad Central 2020El producto escalar, tal y como se escucha es un valor escalar.
El producto escalar o producto punto se expresa de la forma: $$a \cdot b$$
donde $a = < a_1, a_2, a_3>$ y $b = < b_1, b_2, b_3>$; por lo tanto:
$$\textbf{a} \cdot \textbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$
Es importante resaltar que el producto interior es un escalar y no un vector.
Ejercicio: calcule el producto punto entre $a = < 2, 4,-3>$ y $b = <-1,5,2>$ y grafique los vectores.
Sean $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ dos vectores diferentes de cero [Swokoswski, 2017]:
Se dice que dos vectores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ son $\textbf{ortogonales o perpendiculares}$, si $\alpha = \frac{\pi}{2}$
Si $\alpha$ es el ángulo entre dos vectores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ diferentes de cero, entonces:
$$a \cdot b = ||a|| ||b|| cos\alpha$$
$$cos\alpha = \frac{a \cdot b}{||a||||b||}$$
Los vectores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ son ortogonales si y sólo si $\textbf{a} \cdot \textbf{b} = 0$.
Ejercicio: calcule el ángulo entre $a = < 4,-3,1 >$ y $b = <-1,-2,2>$ e indique si los vectores son ortogonales.
El ángulo entre dos vectores (segmentos dirigidos) $\vec{PQ}$ Y $\vec{TR}$ se define como el ángulo $\alpha$ entre sus vectores posición $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ en $R^{3}$.
Entonces el producto escalar entre $\vec{PQ}$ Y $\vec{TR}$ se define por: $\vec{PQ} \cdot \vec{TR} = a \cdot b = ||a|| ||b|| cos \alpha $
Si $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ tienen el mismo punto inicial y si $S$ es la proyección de $Q$ sobre la recta que pasa por $P$ y $R$, entonces el escalar $||\vec{PQ}|| cos \alpha$ se llama componente de $\vec{PQ}$ a lo largo de $\vec{PR}$ y se abrevia $comp_{\vec{PR}}\vec{PQ}$.
Donde: $comp_{\vec{PR}}\vec{PQ} =||PQ|| cos\alpha = \vec{PQ}\cdot \frac{1}{||\vec{PR}||}\vec{PR}$.
Esto quiere decir que la componente de $\vec{PQ}$ a lo largo de $\vec{PR}$ es igual al producto escalar de $\vec{PQ}$ y un vector unitario que tiene la misma dirección que $\vec{PR}$.
Finalmente si $a$ y $b$ son dos vectores en $R^{3}$ con $b$ $\not =0$. La componente de $a$ a lo largo de $b$ se denota por $comp_{b}a$ y se define por: $$comp_{b}a = a \cdot \frac{1}{||b||}b$$
El producto vectorial $\textbf{a}$ $\times$ $\textbf{b}$ de dos vectores en $R^{3}$ ya no es un escalar; es un nuevo vector. Al trabajar con productos vectoriales es conveniente usar determinantes. Un determinante de de orden 2 se define por:
$$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{vmatrix}=a_1 b_2-a_2 b_1 $$
Los determinantes exhiben una propiedad que es el intercambio de dos renglones lo que modifica el signo del determinante. Entonces el producto vectorial de $\textbf{a}$ $\times$ $\textbf{b}$ de $a =< a_1,a_2,a_3>$ y $b=< b_1,b_2,b_3>$ es:
$$\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}i - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \\ \end{vmatrix}j+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{vmatrix}k $$
Lo anterior sugiere que el producto vectorial se denote de la siguiente forma:
$$\textbf{a} \times \textbf{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} $$
Una propiedad importante del producto vectorial es que el vector $\textbf{a} \times \textbf{b}$ es ortogonal a $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$, puesto que al operar $\textbf{a} \times \textbf{b} \cdot a = 0 $ y $\textbf{a} \times \textbf{b} \cdot b = 0$.
Ejercicio Encuentre $\textbf{a} \times \textbf{b}$ para $a = < 2,-1,6>$ y $b = <-3,5,1>$ y grafiquelo.
Geométricamente para que exista un tercer vector construido por el producto cruz de $\textbf{a} \times \textbf{b}$ estos dos vectores deben:
Si $\alpha$ es el ángulo entre dos vectores $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ diferentes de cero entonces:
$$||a \times b|| = ||a|||b|| sen\alpha$$
Dos vectores son paralelos si y sólo si $\textbf{a} \times \textbf{b} = 0$.
Para realizar una interpretación geométrica de $||a \times b||$, a continuación se presenta $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ por vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ con el mismo punto inicial $P$.
Sea $S$ el punto tal que los segmentos $PQ$ y $PR$ son lados adyacentes a un paralelogramo con vértices $P, Q, R$ y $S$.
Sea $S$ el punto tal que los segmentos $PQ$ y $PR$ son lados adyacentes a un paralelogramo con vértices $P, Q, R$ y $S$.
Una de las alturas del paralelogramo es $||b|| sen\alpha$ y por lo tanto, el área es $||a||||b|| sen\alpha$. Se infiere que la magnitud del producto vectorial $\textbf{a} \times \textbf{b}$ es igual al área del paralelogramo determinado por $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$.
Es importante conocer los productos vectoriales de los vectores unitarios especiales $\textbf{i, j}$ y $\textbf{k}$. Se pueden demostrar las siguientes igualdades:
Aplique sus conocimientos y compruebe las igualdades en el geogebra.
Swokowski, E. W. (2017). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.