Computación gráfica
Jorge Victorino1, 2, Miguel Barrero1 jvictorinog@ucentral.edu.co, mbarrerop@ucentral.edu.co 1Universidad Nacional, 2Universidad Central 2020La naturaleza de los vectores (segmentos dirigidos) y su comportamiento es representado de forma geométrica y algebraica.
Independientemente del espacio vectorial o sub espacio en el que se encuentren, los vectores, tienen una magnitud, señalan un sentido y representan una dirección.
Si un vector tiene la misma magnitud y dirección que otro vector quiere decir que estos dos vectores son equivalentes.
Si $k$ es un número real y $\vec{v}$ es un vector; entonces $k\vec{v}$ se define como un vector cuya magnitud es $|k|$ veces la magnitud $||\vec{v}||$ y cuyo sentido es el mismo que la de de $\vec{v}$ si $k > 0$ y opuesto si $k < 0$.
Si $\vec{PQ}$ es un vector en el plano coordenado $xy$ junto a otros vectores (como se muestra en la gráfica), se dice que el vector posición de $\vec{PQ}$ es $\vec{OA}$. Entonces el vector $\vec{OA}$ se llama vector posición porque:
Si un vector es diferente de $0$; $a = < a_1,a_2 >$ en $R^{2}$, se puede representar en un plano coordenado por un segmento dirigido $\vec{PQ}$ con cualquier punto inicial $P(x,y)$ y con cualquier punto final $Q(x+a_1, y+a_2)$.
Entonces se puede decir que $\vec{PQ}$ corresponde a $a$ o viceversa.
Entonces si $P(x_1,y_1)$ y $Q(x_2,y_2)$ son puntos, entonces el vector $a$ en $R^{2}$ que corresponde a $\vec{PQ}$ es:
$$a = < x_2-x_1, y_2-y_1 >$$Ejercicio: Dados los puntos $P(-2,3)$ y $Q(4,5)$ encontrar vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ en $R^{2}$ que correspondan a $\vec{PQ}$ y $\vec{QP}$. Trazar $\vec{PQ}$ y $\vec{QP}$ y los vectores posición $\vec{a}$ y $\vec{b}$.
La magnitud de un vector $||\vec{PQ}||$ es la longitud del segmento $PQ$. Si $\vec{OA}$ es el vector posición de $\vec{PQ}$, entonces la magnitud de $||\vec{OA}||$ con compoenentes $< a_1, a_2 >$ es: $$||\vec{OA}|| = \sqrt{a_1^{2}+ a_2^{2}}$$
Los vectores unitarios son aquellos que tiene por magnitud, norma o modulo de 1. Los vectores unitarios canónicos tienen como componentes $i = <1,0>$ y $j = <0,1>$ como se muestran en la imagen.
Entonces si $a$ es un vector con componentes $< a_1, a_2 >$, este se puede expresar como una combinación lineal de los vectores $i$ y $j$ de la forma $a = a_1i + a_2j$.
Usando la definición anterior se puede representar a $a = < a_1, a_2>$ como:
$< a_1, a_2> = < a_1,0> + < 0, a_2>$
$= a_1< 1, 0 > + a_2 < 0 ,1>$
$= a_1i + a_2j$
Si $a$ es un vector diferente de cero, entonces puede definirse a un vector unitario ${u}$ con la misma dirección y sentido que ${a}$ por medio de: $$ u = \frac{1}{||a||} a$$
Ejercicio 1: Si $a = 5i+j$ y $b= 4i+2j$. Exprese el vector resultante $2a-2b$ como una combinación lineal y grafiquelo.
Ejercicio 2: Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que $4i-2j$ y grafiquelo.
Un vector en 3 dimensiones se compone de una terna ordenada $(a,b,c)$, la cual puede ser representada en un sistema de coordenadas que tenga 3 dimensiones $(x,y,z)$.
Para establecer ese sistema de coordenadas se necesita un punto fijo $O$ y tres rectas coordenadas que sean perpendiculares entre sí
La distancia entre dos puntos cualesquiera $P_1(x_1, y_1, z_1)$ y $P_2(x_2, y_2, z_2)$ es:
$d(P_1,P_2) = \sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$
Esta se formula se extiende a dos dimensiones siempre y cuando $z_1$ y $z_2 = 0$.
Ejercicio 1: Calcular la distancia entre los puntos $P_1(-1, -3, 1)$ y $P_2(3, 4, -2)$. Grafique los resultados.
Las propiedades de los vectores en dos dimensiones se pueden generalizar en $R^{3}$, basta con tener en cuenta la tercera componente.
Swokowski, E. W. (2017). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.