Fundamentos para álgebra lineal

Computación gráfica


Jorge Victorino1, 2, Miguel Barrero1

1Universidad Nacional, 2Universidad Central 2020

Agenda


Definición de vector

Es un segmento de recta contado a partir de un punto en el espacio. Su longitud a escala representa: una magnitud, una dirección y un sentido que puede ser representado en 2 o 3 dimensiones.

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío $V$ de objetos, llamados vectores en el que se ha definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) y que se encuentran sujetos a los siguientes axiomas.

  • $u+v = v+u$
  • $u+v \in V$
  • $(u+v)+w = u+(v+w)$
  • Existe un vector nulo $0_v\in V $ tal que $ v+0_v = v$
  • Para cada $v$ en $V$, existe un opuesto $(-v)\in V$ tal que $v+(-v)= 0_v$
  • $\alpha v \in V$
  • $\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v$
  • $(\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v$
  • $\alpha (\beta v) = (\alpha \beta)v$
  • $1v = v$
Sub espacios vectoriales

Sea $V$ un espacio vectorial y $W$ un subconjunto no vacío de $V$. $W$ es un sub espacio de $V$


  • si $u,v \in W$, entonces $u+v \in W$
  • si $a \in V$ y $u \in W$, entonces $au \in W $

Ejemplo: $W=\left\lbrace(x,y)\in R^{2} / x=0\right\rbrace$

Combinación lineal

Sean $v_1, v_2, v_3,...v_r$ de un espacio vectorial $V$; se dice que $w$ es una combinación lineal de los vectores $v_1, v_2, v_3,...v_r$ si:

$$w= k_1v_1+k_2v_2+...k_rv_r$$

Donde $k_1,k_2,...k_r$ son escalares.

Ejemplo:¿El vector $(1,0,4)$ sería una combinación lineal de los vectores $(1,0,1)$ y $(0,0,2)$?


Dependencia e independencia lineal

Un conjunto de vectores $\left\lbrace v_1, v_2, v_3,...v_r\right\rbrace$ de un espacio vectorial $V$ es dependiente si y solo si al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal del otro. Si el conjunto $\left\lbrace v_1, v_2, v_3,...v_r\right\rbrace$ es linealmente dependiente admite otras soluciones además de la trivial. Esto quiere decir que al menos uno de los escalares distinto de cero [Isabel Pustilnik, 2017].


Ejemplo: Es el conjunto $\left\lbrace (1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\right\rbrace$ linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?

Ejemplo: ¿Es el conjunto $\left\lbrace (1,1),(1,-1),(2,0)\right\rbrace$ linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?

Ejemplos

Si se tienen dos vectores $v_1$ y $v_2$ en 2D, se dice que son LD si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro [Isabel Pustilnik, 2017].

Entonces se puede afirmar que dos vectores en $R^{2}$ y $R^{3}$ son LD si y sólo si están sobre la misma recta que pasa por el origen (vectores paralelos).

Ejemplos

En $R^{3}$, tres vectores $v_1$, $v_2, v_3$ son LD si y sólo si están ubicados en el mismo plano (coplanares).

Tres vectores $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ en $R^{3}$ que son LI.


Conjunto generador y base

Sea $\left\lbrace v_1, v_2, v_3,...v_r\right\rbrace$ un conjunto de vectores de un espacio vectorial $V$; si todo vector de $V$ puede expresarse como una combinación lineal de $ v_1, v_2,...,v_r$ entonces se dice que $\left\lbrace v_1, v_2, v_3,...v_r\right\rbrace$ es un conjunto generador de $V$ o que también $ v_1, v_2,...,v_r$ generan $V$.


Una base es un conjunto B del espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
  • Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial $V$.
  • Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
  • Todo elemento de $V$ se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de $V$).
Referencias

ISABEL PUSTILNIK, FEDERICO GÓMEZ. Universidad Tecnológica Nacional, F. R. B. A. (2017). Conjunto generador.li y ld. base. dimensión.

https://aga.frba.utn.edu.ar/conjunto-generador-li-y-ld-base-dimension/

ISABEL PUSTILNIK, FEDERICO GÓMEZ. Universidad Tecnológica Nacional, F. R. B. A. (2017). Conjunto generador. Espacios vectoriales

https://aga.frba.utn.edu.ar/conjunto-generador-li-y-ld-base-dimension/